Aha, ja där var någonting ja. Inställningar -> E-post, kontakter, kalendrar -> Det aktuella kontot -> Mail-mappar för push. Klickade i 'Sent items' utöver inkorgen som redan var aktiverad. Jag har tidigare trott att det bara gått att välja *en* mapp av de som finns i listan. Tack så väldigt mycket!
Då är första frågan avklarad. Den andra ser ut att bli svårare att knäcka.