Tror inte det är hos Binero felet ligger. Jag har också en stationäre och en bärbar Mac samt imapkonton hos Binero (tre konton på två domäner, för att krångla till det...), och det fungerar alldeles utmärkt. Misstänker att Dina problem beror på att Du har bägge burkarna uppe samtidigt; hos mig sover normalt den jag inte använder.
Om Du måste ha bägge uppe, prova att ställa om till att bara hämta post manuellt, så inte servern får frågor från båda omväxlande hela tiden. Kolla också att båda är ställda så posten spars på servern (inboxar o skickat), annars kan man inte se det man behöver från båda.
Det där med omfrågor av lösenord är nog ett annat problem: det är en förb---nad PEST rent ut sagt, som funnits av och till sedan 10.5 kom, och som Apple ännu inte lyckats få full ordning på. Sök på detta forum och Apple User Forum, så hittar Du massor.