Det kommer antagligen inte att fungera att bara kopiera över filerna eftersom varje iTunes installation har en egen identifier som iPhonen "låser" sig till.
Brukar funka att koppla in telefonen i den nya datorn, sen högerklicka på den i iTunes och välja Backup. När du sen synkar nästa gång kommer iTunes först säga att allt måste tas bort för att synka med den här datorn, sen säger den att du antingen kan aktivera telefonen som en ny telefon eller återställa från en backup. Återställ och så bör det mesta vara normalt igen.
Ett par små saker, om du har köpt appar på mobilen så auktorisera datorn INNAN du kör backupen (Store - Authorize this computer) och information som iTunes normalt inte inkluderar i en backup kommer att försvinna (tex musik och filmer), dock är det oftast bara att lägga in dem i ditt itunes bibliotek och synka över dem igen. Informationen som finns i apps kommer att sparas men det finns en risk att du måste installera om dem.
Yes, det är jäkligt omständigt. Tacka DRM för att det gör livet jävligare för varje dag som går...