Jag stänger aldrig ner Anteckningar - jag stänger aldrig ner något program jag ofta använder på någon enhet (Anteckningar, mail, safari, iMessage, Kalender, etc, etc...) så jag vet inte bestämt OM iCloud synkar även om appar är nerslängda...men jag skulle bli mycket förvånad om det inte funkar så...jag utgår från att iCloud synkar oavsett appars status (på/av).
Men jag har en erfarenhet angående detta förresten: Jag öppnar Anteckningar på en Mac med min dotters Apple-ID/iCloud aktiverat och gör en anteckning...och sedan stänger ner Anteckningar på den Macen (då den Macen sällan används - är egentligen bara en burk för Garageband med en USB-mick och USB-keyboard). Anteckningen finns sedan på hennes iPhone och iPad. Detta gäller också Kalender; jag öppnar Kalender och lägger in hennes skolschema - stänger sedan kalender-appen och allt finns sedan på hennes iPad och iPhone.
Det är klart det måste funka så. Funkar det inte för dig så är det något strul - inte en feature. Det är ju alltså filer i mappar på ett ställe i användarens Bibliotek som synkas...inte apparnas grafiska presentation på skärmen....och dessa synkas givetvis oavsett op appen för tillfället är uppritad grafiskt på en skärm eller inte.