Dels som spot nämner behöver du MySQL biblioteket för att komma åt en MySQL databas. Sedan behöver du lite grundläggande kunskaper om hur JDBC fungerar för att kunna hämta och spara information från SQL databasen med JDBC. Enklast är att göra en google sökning på JDBC tutorial, finns rätt många och de flesta tar upp ungefär vad du behöver veta. Värt att nämna är att det blir väl en ca 100 rader kod för att läsa ur en databas i java, om man räknar med uppsättning, uppstädning i koden osv.
Du skriver sedan att du bygger en applet, hoppas du tänker på det faktum att en standard java applet inte får access något annat än de resurser som finns på samma server som den laddas ifrån, vilket i praktiken innebär att den server som hostar appletten även måste ha MySQL databasen öppen ut mot internet för att appletten ska ha åtkomst till databasen.
Någon specifik anledning till att du skriver lösningen som en Applet och inte som en enkel jsp lösning?